- Titre : Des villes fractales? Géométrie fractale et analyse multifractale au service de la géographie urbaine.
- Présentateur : Olivier Bonin (UGE)
- Résumé : Présentation des travaux sur l’utilisation de la géométrie multifractale pour des analyses d’accessibilité en ville ainsi que les travaux sur l’analyse multifractale pour la classification de données urbaines. Cela permettra d’ouvrir la discussion sur d’autres applications possibles de l’analyse fractale qui seront abordées dans le cadre du projet.
- Sujet de recherche associé : Travaux antérieurs au projet
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- Présentation de deux domaines liés aux fractales : la géométrie fractale (objets géométriques) et l'analyse multifractale (signaux avec intensité)
- Les fractales sont des objets complexes dans leur occupation de l'espace, avec des détails qui apparaissent à chaque niveau de zoom (exemple : côtes de l'Angleterre)
- Ces objets peuvent sembler infiniment détaillés tout en occupant un espace délimité
- La dimension de Minkowski se calcule par la méthode du box counting : recouvrement de l'objet par des boîtes rectangulaires, rapport entre le logarithme du nombre de boîtes et le logarithme de leur taille
- Cette dimension converge vers une valeur stable lorsque les boîtes deviennent plus petites
- La dimension fractale est complémentaire à la densité : elle permet de capter l'hétérogénéité spatiale et l'irrégularité, même quand la densité est identique
- Application aux villes : analyse de la texture formée par les bâtiments (noir = bâti, blanc = non-bâti) pour obtenir une dimension caractéristique
- Exemple : Louvain obtient une dimension de 1,8 (proche de l'homogénéité maximale de 2), tandis que la banlieue est présente une dimension de 1,45 (urbanisation plus dispersée le long des réseaux)
- Pour les réseaux, le processus multiplicatif de construction (réseau structurant puis subdivisions) explique les bonnes estimations dimensionnelles
- Limitations : nécessité d'une zone d'analyse significative et réduction à un seul nombre pour caractériser une texture
- Au-delà de la classification, possibilité de modélisation fractale explicite pour créer des primitives géométriques multi-échelles
- Le tapis de Sierpinski utilise un système de fonctions itérées (IFS) : application répétée de fonctions contractantes sur une forme initiale
- Propriétés intéressantes du modèle :
- Mélange de caractéristiques urbaines à toutes les échelles
- Inspiration des "lacs de Wada" : présence de trois caractéristiques (densité bâtie, réseaux, espaces verts) en chaque point
- Maximisation de la diversité des fonctions urbaines
- Ressemblance avec le schéma christallérien : répartition hiérarchique de l'espace avec centres principaux, centres secondaires, sous-centres, etc.
- Le système permet de distinguer des zones de même taille mais avec des fonctions différentes (exemples : 110 = satellite, 011 = centre secondaire, 101 = zone relais)
- La trace des itérations conserve l'information sur la position dans la hiérarchie urbaine
- Les documents d'urbanisme montrent une corrélation entre fréquences de recours aux aménités (quotidienne, hebdomadaire, mensuelle, exceptionnelle) et leur position spatiale (centralité)
- Le modèle fractal rend ces centralités explicites, permettant des évaluations multi-échelles
- Intégration des distances acceptables selon les types d'aménités (exemple : exigence plus forte pour les crèches et écoles que pour les équipements sportifs)
- Les scores d'accessibilité sont portés par chacun des carrés du tapis de Sierpinski pour différents niveaux d'aménités
- Utilisation d'une cascade multiplicative : répartition harmonieuse en adéquation avec le zonage fractal
- Mécanisme itératif : à chaque étape, ventilation de la population entre centre principal et sous-centres
- Exemple avec 120 000 logements : 25% dans le centre principal (30 000 logements), 0,1% dans chaque centre secondaire (12 000 logements)
- Résultats réalistes après 5 itérations : densités allant de 117 logements/hectare (zones les plus denses) aux fermes isolées, avec des densités intermédiaires typiques des zones pavillonnaires
- Avantage : concentration déconcentrée avec diversité de voisinages à toutes les échelles, évitant les inconvénients de la ville compacte trop dense
- Extension de l'analyse fractale aux données non binaires : populations, prix immobiliers, commerces et services
- Origine mathématique : fonctions continues mais nulle part dérivables (fonction de Weierstrass, 1872)
- Ces fonctions irrégulières sont la norme dans le monde réel, pas l'exception
- Exemples : trafic internet, densité de population (grilles INSEE 200m)
- Nécessité de mathématiques différentes pour analyser ces signaux extrêmement irréguliers
- Définition des fonctions Cα : régularité ponctuelle en un point X0, approximation par un polynôme avec erreur en O(|X-X0|^α)
- Calcul du niveau de régularité en chaque point (α = 0.1, 0.2, 0.3, etc.)
- Calcul de la dimension de Hausdorff des ensembles isoholdériens (ensembles de points avec un niveau de régularité donné)
- Le spectre multifractal remplace la dimension fractale unique : ensemble des dimensions de Hausdorff pour tous les niveaux de régularité
- Lien avec la décomposition en ondelettes orthogonales : base multi-échelle et localisée, coefficients reliés à la régularité ponctuelle
- Exemple sur les ménages en Île-de-France : texture avec zones sans population (bleu) et zones de plus en plus chaudes selon la densité
- Lecture du spectre (courbe en forme de parabole inversée) :
- Sommet (vers 0,8) : régularité la plus fréquente, correspondant à une dimension fractale de 1,8 (cohérent avec l'analyse monofractale)
- Branche gauche : zones plus irrégulières avec coefficients alpha négatifs = signal non localement borné (exemple : grands ensembles HLM avec pics de population isolés)
- Largeur du spectre (C2) : variabilité de la régularité, différencie les textures homogènes des textures avec grande diversité dimensionnelle
- Indicateur C1 (centre du spectre) : très bonne estimation (0,8) avec régression linéaire
- Difficulté d'estimation du C2 pour les petites échelles : limitation physique des données INSEE (carreaux de 200m, pas de données plus fines disponibles)
- Partie droite du spectre (α > 1) moins intéressante et difficile à interpréter en pratique
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Classification des tissus urbains dans les grandes métropoles (Paris, Lyon, Strasbourg, Toulouse)
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Identification de différents types de structures :
- Pics de population isolés (grands ensembles)
- Tissus homogènes (urbain dense ou pavillonnaire régulier)
- Grande diversité dimensionnelle
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Développement d'analyses multivariées pour la ségrégation socio-spatiale : comparaison des distributions de ménages aisés et pauvres, identification des fortes concentrations en milieu homogène ou des concentrations conjointes
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Apport d'indicateurs complémentaires aux mesures classiques de mixité sociale pour affiner les analyses