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Geoffrey Deperle, doctorant à l'INRIA dans l'équipe Tribe, a présenté ses travaux de recherche à mi-parcours de sa thèse (1,5 an sur 3 ans). La présentation porte sur le concept des villes hyperfractales, une approche de modélisation de la géométrie urbaine et du trafic. Ces travaux ont fait l'objet de deux articles soumis cette année, l'un en janvier et l'autre récemment.
Le problème de recherche est motivé par les besoins de l'IA générative appliquée aux cartes de villes et aux données de trafic. Pour entraîner efficacement une IA à comprendre le concept de ville, il faudrait des millions de jeux de données urbaines, mais il n'existe pas suffisamment de villes dans le monde pour cela. L'objectif est donc de développer un modèle mathématique capable de générer de nouvelles villes synthétiques avec le minimum de paramètres possible.
La géométrie fractale est utilisée pour étudier les villes car elle modélise les structures qui se répètent avec une hiérarchie. Dans les années 1990, des urbanistes et mathématiciens ont observé que les cartes de villes présentent des caractéristiques fractales : les routes principales se divisent en routes secondaires, puis en petites rues, créant une hiérarchie naturelle.
Pour modéliser le trafic, il faut également considérer la loi de puissance (power law) : la fréquence de trafic sur la n-ième rue la plus fréquentée suit une relation de puissance par rapport à la rue la plus fréquentée. Ce phénomène apparaît naturellement dans de nombreux phénomènes, comme la loi de Zipf pour les fréquences des mots.
Le modèle de Manhattan est utilisé comme exemple de référence en raison de sa structure en grille régulière. Dans ce modèle, une probabilité P est attribuée à la croix centrale (rues principales nord-sud et est-ouest), et la probabilité restante (1-P) est répartie uniformément sur les quatre quadrants. Ce processus est répété de manière récursive, créant une hiérarchie de rues.
La dimension hyperfractale est définie par la formule : log(4) / log(2) × (1-P)². Cette dimension est remarquable car elle dépasse 2, même si la carte de la ville est sur un plan 2D - d'où le terme "hyperfractal".
Caractéristiques de la dimension :
Méthode traditionnelle : Nécessite les données de longueur de toutes les rues et les données de trafic pour calculer la dimension via l'analyse de la densité.
Nouvelle méthode par imagerie satellitaire :Utilise les lumières nocturnes des villes comme indicateur du trafic, car les rues les plus fréquentées sont plus lumineuses. La méthode consiste à :
Optimisation par échantillonnage : Des travaux ont montré qu'il n'est pas nécessaire de calculer la dimension en chaque point - un échantillonnage de fenêtres peut suffire, la valeur typique correspondant à la dimension hyperfractale.
En collaboration avec l'INRIA Paris, le modèle a été appliqué au problème de recherche de parking. Un véhicule se déplace à vitesse constante sur des rues avec différents taux d'apparition de places (pop-up rate), proportionnels au trafic.
Résultat principal : La distance moyenne avant de trouver une place est proportionnelle à λ^(1/(2-d)), où λ est l'intensité globale de disponibilité de stationnement et d est la dimension hyperfractale. Deux villes avec le même niveau d'activité auront des distances de recherche différentes selon leur dimension hyperfractale.
La variance dépend également de la dimension hyperfractale, et le résultat reste valable même avec une modulation aléatoire des taux de pop-up.
Les villes réelles ne sont pas homogènes mais composées de plusieurs districts ayant chacun leur propre dimension hyperfractale. Par exemple, Minneapolis présente plusieurs grilles distinctes (centre, zones résidentielles).
Algorithme de détection de districts :
Le modèle permet de générer des villes synthétiques pour nourrir les IA :
Flexibilité du modèle :
Royston Fernandes (Cerema) a questionné l'applicabilité aux villes non-orthogonales (villes asiatiques, Venise). Geoffrey a expliqué que :
Les multiples petits quartiers avec leurs propres systèmes orthogonaux permettent de créer des géométries diverses
L'aspect géométrique n'est pas dérangeant pour les applications - ce sont les lois de puissance qui importent
Olivier Bonin (UGE) a soulevé des questions mathématiques approfondies sur :
La caractérisation par une seule dimension vs. un spectre de dimensions
L'auto-similarité de la mesure et l'analyse multifractale
La relation entre la mesure et son support
Les aspects topologiques et la diversité d'objets ayant la même dimension
Philippe Jacquet (INRIA) a clarifié l'approche : contrairement à l'analyse fractale classique qui décrit des objets réels, ce travail vise à générer des objets virtuels avec les propriétés pertinentes des objets réels, en utilisant un minimum de paramètres.